Analiza Metodą Elementów Skończonych (FEM) w Kontekście Elementów Kompozytowych

W dzisiejszym świecie, zastosowanie kompozytów stało się powszechne w szerokim zakresie aplikacji, od lotnictwa po przemysł motoryzacyjny i budownictwo. Kompozyty oferują doskonałe właściwości mechaniczne, takie jak wysoka wytrzymałość i sztywność przy niskiej masie. Jednakże, złożona struktura kompozytów wymaga dopasowania technik analizy tak, aby dokładnie zrozumieć ich zachowanie mechaniczne podczas obciążeń.

Czym są Kompozyty?

Kompozyty to materiały złożone z dwóch lub więcej różnych składników, które łączą się w celu uzyskania właściwości, których nie można osiągnąć w pojedynczych materiałach. W typowym kompozycie, jedna z faz przyjmuje rolę medium ciągłego – osnowy, reszta zaś wzmocnienia, co prowadzi do powstanie pożądanych właściwości mechanicznych. Przykładowo, popularne kompozyty włókniste składające się z włókien wzmacniających (np. szklanych, węglowych, aramidowych, bazaltowych) zatopionych w osnowie polimerowej są powszechnie stosowane ze względu na ich wysoką wytrzymałość na rozciąganie i sztywność.

Do analizy laminatów kompozytowych wykorzystuje się najczęściej elementy powierzchniowe (shell) korzystając przy tym z klasycznej teorii laminatów

Klasyczna teoria laminatów

Klasyczna teoria laminatów (ang. Classical Laminate Theory, CLT) jest jednym z podstawowych podejść do modelowania i analizy materiałów kompozytowych, szczególnie laminatów, które składają się z warstw ułożonych jedna na drugiej pod określonymi kątami. Teoria ta umożliwia inżynierom przewidywanie mechanicznych właściwości laminatów na podstawie właściwości warstw składowych oraz ich układu.

W klasycznej teorii laminatów przyjmuje się następujące założenia:

   – Między poszczególnymi warstwami laminatu występuje doskonała adhezja, co uniemożliwia poślizg i zapewnia ciągły rozkład odkształceń

   – Właściwości materiałowe każdej warstwy są jednorodne. Oznacza to, że właściwości mechaniczne, takie jak moduł Younga czy współczynnik Poissona, są takie same w każdym punkcie warstwy i nie zmieniają się wzdłuż jej grubości.

– Właściwości materiałowe warstwy mogą wykazywać anizotropię tzn. przyjmować różne wartości w zależności od kierunku badania.

– Obowiązuje teoria cienkich płyt Kirchhoffa-Love’a mówiąca o tym, że linia prosta prostopadła do powierzchni płyty przed obciążeniem pozostaje taka po przyłożeniu obciążenia.

– Zakłada się małe przemieszczenia

Klasyczna teoria laminatów jest przydatnym narzędziem w projektowaniu i analizie, należy jednak pamiętać, że nie uwzględnia ona wszystkich złożoności występujących w  rzeczywistych strukturach kompozytowych, takich jak efekty heterogeniczności materiałowej czy efekty brzegowe. Dlatego też, w niektórych przypadkach, konieczne może być użycie bardziej zaawansowanych technik, takich jak metoda elementów skończonych z uwzględnieniem modeli mikromechanicznych.

Budowa modelu materiału kompozytowego w analizie MES składa się z następujących kroków:

1. Wyznaczenie własności materiałowych poszczególnych warstw. W pojedynczym laminacie wykorzystać można różne materiały wzmocnienia (tkaniny, dzianiny, maty, przekładki) które w połączeniu z osnową (najczęściej żywicą) posiadać będą różne właściwości. Pełen komplet danych obejmuje: 
   • wytrzymałość na rozciąganie w kierunku równoległym (1T)ult i prostopadłym (2T)ult do włókien, 
   • wytrzymałość na ściskanie w kierunkach równoległym (1C)ult i prostopadłym (2C)ult do włókien, 
   • wytrzymałość na ścinanie (12)ult, 
   • moduły Younga w kierunku równoległym E1 i prostopadłym E2 do włókien, 
   • moduł Kirchhoffa G12
   • liczba Poissona w płaszczyźnie warstwy 12

Wskazane jest wyznaczenie powyższych parametrów oddzielnie dla każdej użytej pary wzmocnienie-osnowa.

1. Przypisanie poszczególnym użytym materiałom warstw odpowiadających im właściwości. 
2. Określenie sekwencji ułożenia warstw w laminacie. W tym kroku definiowana jest kolejność oraz kąt ułożenia warstw. 

Analiza Metodą Elementów Skończonych (MES) 

Analiza MES to metoda numeryczna służąca do rozwiązywania równań różniczkowych opisujących m. in. zachowanie mechaniczne struktur. W przypadku elementów kompozytowych, analiza MES pozwala na modelowanie ich złożonej struktury, uwzględniając interakcje między składnikami kompozytu oraz ich wpływ na ogólną wytrzymałość i sztywność struktury. 

Po skonstruowaniu modelu materiałowego dalsze kroki analizy nie różnią się od tych podejmowanych dla materiałów izotropowych. Konieczna jest więc dyskretyzacja modelu geometrycznego poprzez wygenerowanie siatki elementów skończonych, zadanie podparć, obciążeń i ewentualnych innych warunków brzegowych. Po uzyskaniu rozwiązania przejść należy do analizy wyników która w przypadku materiałów kompozytowych różni się od tej wykonywanej dla materiałów izotropowych.

Analiza wyników

W materiałach takich jak stal do oceny wytrzymałości analizowanego elementu wykorzystywana jest najczęściej hipoteza maksymalnej energii odkształcenia postaciowego Hubera-Misesa-Henky’ego. Naprężenia występujące w materiale redukowane są do pojedynczej wartości porównywanej następnie z naprężeniem dopuszczalnym będącym wartością uzyskana w statycznej próbie rozciągania (najczęściej granicą plastyczności) pomniejszoną o odpowiedni współczynnik bezpieczeństwa. W przypadku materiałów kompozytowych, z uwagi na ich anizotropię i heterogeniczność, wykorzystywanie naprężenia zredukowanego do oceny wytrzymałości jest podejściem nieprawidłowym. Istnieje wiele hipotez wytężenia materiału kompozytowego z których najczęściej stosowane w komercyjnych pakietach MES przedstawiono poniżej. Każda z nich powinna być rozpatrywana w obszarze pojedynczej warstwy.

1. Hipoteza maksymalnego naprężenia

Bazująca na teorii maksymalnego naprężenia normalnego Rankine’a oraz maksymalnego naprężenia ścinającego Tresci hipoteza ta jest podobna do tych stosowanych dla materiałów izotropowych. Naprężenia w warstwach rozkładane są na kierunki lokalne warstwy dając naprężenia równoległe i prostopadłe do włókien oraz ścinające. Następnie przyrównywane są one do odpowiednich wartości maksymalnych. Warstwa uznawana jest za uszkodzoną jeśli:

–1Cult>1>1Tult lub

–2Cult>2>2Tult lub

–12ult>12>12ult

1. Hipoteza Tsai-Hilla

Hipoteza ta wzorowana jest na hipotezie maksymalnej energii odkształcenia postaciowego Hubera-Misesa-Henky’ego i dostosowana została do oceny materiałów anizotropowych. Zgodnie z nią uszkodzenie wartstwy znajdującej się w płaskim stanie naprężenia następuje gdy:

11Tult2–121Tult2+22Tult2+1212ult2>1

Jak można zauważyć w swojej podstawowej formie teoria ta nie rozróżnia między wytrzymałościami przy rozciąganiu i ściskaniu, bierze jednak pod uwagę interakcje między różnymi kierunkami naprężania.

1. Hipoteza Tsai-Wu

Bazując koncepcyjnie na teorii maksymalnej energii odkształcenia Beltrami’ego-Haigha hipoteza Tsai-Wu jest bardziej ogólna niż Tsai-Hilla i uwzględnia różnice w wytrzymałości materiału na ściskanie i rozciąganie. Wg niej warstwa znajdująca się w płaskim stanie naprężenia ulega uszkodzeniu gdy:

H11+H22+H612+H1112+H2222+H66122+2H1212>1

Gdzie współczynniki H1,H2,H6,H11,H22 zależne są od pięciu wartości wytrzymałości warstwy na rozciąganie, ściskanie i ścinanie. Współczynnik H12 wyznaczony musi być eksperymentalnie np. w próbie dwuosiowego rozciągania.

1. Hipoteza Hashina

Hipoteza Hashina pozwala na rozróżnienie czterech podstawowych sposobów uszkodzenia warstwy:

• Uszkodzenie włókien przy rozciąganiu zachodzi kiedy 1>0 oraz:

11Tult2+1212ult2>1

• Uszkodzenie włókien przy ściskaniu zachodzi kiedy 1<0 oraz 

1>1Cult

• Uszkodzenie osnowy przy rozciąganiu zachodzi kiedy 2>0 oraz 

22Tult2+1212ult2>1

• Uszkodzenie osnowy przy ściskaniu zachodzi kiedy 2<0 oraz 

2223ult2+12223ult2-122Cult+1212ult2>1

Jak widać hipoteza Hashina wymaga podania dodatkowego parametru 23ult będącego wytrzymałością na ścinanie w płaszczyźnie prostopadłej do włókien.

Podsumowanie

Analiza metodą elementów skończonych stanowi kluczową technikę w projektowaniu elementów kompozytowych. Pozwala ona na modelowanie złożonych struktur kompozytowych oraz symulację ich zachowania pod obciążeniem. Poprzez właściwe zdefiniowanie modelu materiału, odpowiednią dyskretyzację, oraz analizę wyników, metoda elementów skończonych umożliwia inżynierom lepsze zrozumienie zachowania elementów kompozytowych.